Papyrus mathematicus Rhind oder:

Rechnen im Alten Ägypten?







Rechnen vor 4.000 Jahren, gab's das wirklich?

Selbstverständlich hatten die Ägypter neben den Buchstaben in ihrer Sprache auch Zahlen (oder numeri) verfügbar; denn die Zahlen der erbeuteten Tiere oder Gefangenen nach einer Strafexpedition war natürlich ein erwähnenswertes Detail. Und so finden sich diese Angaben an diversen Stellen der steinernen Hinterlassenschaft. Aber was konnten die Ägypter mit Zahlen anfangen, welche mathematischen und geometrischen Kenntnisse hatten sie? Um die Frage kurz zu beantworten: Ihre Kenntnisse waren aus heutiger Sicht unglaublich. Und woher wissen wir dies? Unter anderen aus dem Papyrus Rhind (RMP), heute im Britschen Museum in London beheimatet, partiell stark beschädigt und daher leider nicht ausgestellt. Dieser Papyrus, Mitte des vorigen Jahrhunderts in Ruinen nahe des Totentempels Ramses II. gefunden, erwies sich als ein Lehrbuch der Mathematik aus dem Alten Ägypten. Es diente zur Unterweisung und auch als Übungsvorlage für die Zöglinge am Königshof.

Dieses "Lehrbuch" war nicht mit Hieroglyphen geschrieben, sondern in hieratischer Schrift, einer Schriftvariante der Hieroglyphen zur Darstellung in Papyri. Das nebenstehend eingeblendete Bild zeigt die Zahlen von 1 bis 9 als Hieroglyphen und in hieratischer Schrift. Und das Papyrus stellte sich als klassisches Lehrbuch heraus, bestehend aus Aufgaben plus den dazu gehörigen Lösungen; und zwar nicht nur das Ergebnis, sondern auch der Weg dahin. Der im Kopf dieser webpage eingeblendete Ausschnitt zeigt die Aufgaben 56-60 mit den Lösungsansätzen für die Berechnung von Pyramidenvolumina.

Welche Erkenntnisse ergeben sich bei der Auswertung?

Die Ägypter waren mit allen 4 Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) vertraut; ihre Schüler mußten nicht das Kleine & Große 1 x 1 auswendig lernen; der ihnen vertraute Zahlenraum umfaßte den Bereich von 7 Zehnerpotenzen, nämlich von 100 (= 1) bis 106 (= 1.000.000), sie waren mit dem Prinzip der Dezimalrechnung vertraut, hatten keine Definition der Zahl Null und kannten auch nicht den Bereich negativen Zahlen. Rationale Zahlen (z.B. 1,25) waren ihnen nicht bekannt, sie kannten und praktizierten das Rechnen mit Stammbrüchen. Sie kannten die konvergente geometrische Reihe ebenso wie Gleichungssysteme mit einer Unbekannten. Und im Bereich der Geometrie waren für sie die Berechnung von Flächen und Volumina von Körpern kein unlösbares Problem; für die Volmenberechnung hatten sie mit 3,16 eine gute Näherung für die sog. Kreiszahl "Pi" entwickelt; der Satz des Pythagoras und damit die Konstruktion rechter Winkel war ihnen genauso geläufig wie diverse Lehrsätze über Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Auch das Problem der Quadratur des Kreises, d.h., die Umwandlung einer Kreisfläche in eine äquivalente Quadratfläche, war ihnen geläufig.

Das ägyptische Zahlensystem

Die nebenstehend abgebildeten Hieroglyphen stellen von links nach rechts die Zahlwörter in fallender Notation dar, beginnend mit dem (selten verwendeten) Symbol für 1.000.000, dann 100.000, 10.000, 1.000, 100, 10 und 1. Für die Gestaltung gelten hinsichtlich der Anordnung in Quadraten die gleichen Vorgaben wie für den normalen Texte, d.h., die Zeichen werden so angeordnet, daß sie mehrheitlich Quadrate bilden.

Grundsätzlich werden die ägyptischen Zahlen in der gleichen Notation geschrieben wie die römischen Zahlen (z.B. MDMLXXIII), beginnend mit der höchsten Zehnerpotenz und fallend bis zur Einerstelle. Die abgebildete Hieroglyphenfolge stellt die Zahl 152.123 dar.

Hinzu kommt, daß eine Reihe von Brüchen sowohl als Hieroglyphen als auch als hieratische Schriftzeichen definiert waren, wie die nebenstehende Abbildung zeigt. Gezeigt sind in der oberen Reihe die Werte 2/3, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 sowie in der 2. Reihe 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 und 1/10 - jeweils von links nach rechts gelesen.






Und wie rechnete man im Alten Ägypten?


Addition und Subtraktion waren analog unserem Verfahren zu sehen, wobei negative Werte (also unter Null) nicht bekannt waren. Addition von Brüchen wurde nach dem gleichen Verfahren durchgeführt, wie wir es auch kennen: Erweiterung der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und Addition der Ausdrücke.

Multiplikation von Zahlen
Um das Lernen des großen und kleinen 1 x 1 zu umgehen, lernten die Schüler nur das Verdoppeln und Verzehnfachen der Zahlen; dies genügte, um dann die Multiplikation schrittweise in einzelnen Vielfachen eines Multiplikators durchzuführen und anschließend die Summe der erhaltenen Vielfachen ermittelt. Zum Beipiel: 47 x 33

1*47 = 47, 10*47 = 470, 20*47 = 940, 2*47 = 94
= (1+10+20+2)*47 = (47+470+940+94) = 1551

Division von Zahlen
Die Division wurde als Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch behandelt: der Ausdruck "47/33" wurde so ausgelegt, daß die Regel lautetet: behandele 33 mit einem Multiplikator, um als Ergebnis die Zahl 47 zu erhalten. Das ergibt folgenden Lösungsansatz:

  1/1  von 33 = 33
  1/3  von 33 = 11
  1/11  von 33 =   3
Summe 1 + 1/3 + 1/11 47

Damit ergibt sich das Ergebnis - der gesuchte Divisor - zu 1 + 1/3 + 1/11 oder in heutiger Darstellung 1,4242 (Die Ägypter kannten keine Dezimalzahlen!), das Ergebnis ist identisch mit dem heute per Taschenrechner erzielbaren.


Beispiele


Es folgen einige beispielshafte Aufgaben aus dem Papyrus


Beispiel 1: RMP no. 31: befaßt sich mit der Lösung von Gleichungen mit Brüchen, vorgegeben wird die Gleichung:
x + (2/3 + 1/2 + 1/7)* x = 33

Die Lösung dieser Gleichung wird für die Unbekannte "x" mit 14 + 1/4 + 1/56 + 1/97 +1/194 angegeben, was 14,28 ergibt. Der Taschenrechner heutiger Tage zeigt als Ergebnis 14,29 an.


Beispiel 2: RMP no. 39: Güterverteilung
100 Brotlaibe sind auf 10 Männer zu verteilen, 50 davon gleichmäßig auf 6 Männer und die restlichen 50 auf 4 Männer. Es ist der Mengendifferenz zwischen beiden Gruppen zu bestimmen.

Es werden die Mengen der beiden Gruppen zu 50 / 4 = 12 + 1/2 und 50 / 6 = 8 + 1/3 bestimmt und daraus die Differenz (12 + 1/2) - (8 + 1/3) zu 4 + 1/6 Laibe


Beispiel 3: RMP no. 62: Wertermittlung

Die Aufgabe lautet: In einer Tasche befinden sich Gold, Silber und Blei im Wert von insgesamt 84 Schenaty. Pro Gewichtseinheit "deben" - das sind ab dem Neuen Reich ca. 91 Gramm - kostet Gold 12 Schenaty, Silber 6 Schenaty und Blei 3 Schenaty. Es ist der Wert der drei Metalle in der Tasche zu ermitteln. Folgender Lösungsansatz wird aufgezeigt:

Gesamtwert 84 Schenaty
Gesamtpreis für 1 deben Gold, 1 deben Silber und 1 deben Blei = 12 + 6 + 3 21 Schenaty
Jedes Metall wiegt damit 84 / 21 = 4 deben
Wert des Goldes 4 x 12 = 48 Schenaty
Wert des Silbers 4 x 6 = 24 Schenaty
Wert des Bleis 4 x 3 = 12 Schenaty


Beispiel 4: Aufgabe 41 des RMP ist ein Beispiel für die Volumenermittlung von Hohlkörpern und zugleich auch ein Beweis, daß die Ägypter die Grundlagen der Quadratur des Kreises erkannt und befriedigend gelöst hatten. Sie waren im Stande, die Kapazität von zylinderischen Saatgutbehältern zu bestimmen; sie wußten, daß sich das Volumen dieser Behälter ergibt aus dem Produkt Grundfläche mal Höhe, wobei die Form der Grundfläche (rund, rechteckig) ohne Bedeutung war. Und die Methode der Ermittlung einer kreisförmigen Grundfläche, beschrieben in den Aufgaben 41-43 des RMP, waren in der Tat die besten der prä-hellenischen Welt: nehme den Durchmesser des Kreises, subtrahiere den 9. Teil des Durchmessers davon und quadriere das erhaltene Ergebnis, um die Fläche zu erhalten. In Aufgabe 41 ist der Durchmesser mit 9 cubits (einem ägyptischen Längenmaß) angegeben, daraus ergibt sich nach der o.g. Rechenvorschrift die Fläche zu (9 - 1) = 8 x 8 = 64 cubits. Nach der uns heute bekannten Methode ist die Kreisfläche bestimmt zu d2*pi/4, das heißt unter Zugrundelegung der in no. 41 genannten Werte = 9 x 9 x 3,1416 / 4 = 63,62 cubits, das entspricht einer Abweichung von nur 0,6 %!!


Beispiel 5: RMP no. 79 die Entwicklung einer konvergierenden geometrischen Reihe am Beispiel der Horusaugen-Brüche

Die Brüche 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 und 1/64 sind als Horusaugen-Brüche bekannt, sie haben in dieser Notation eigene Hieroglyphen. Nach der Mythologie der Ägypter wurde das Auge des Falkengottes Horus vom Gott Seth herausgerissen und verzehrt; der Gott Thot (Gott der Schreiber und des Rechnens) hat das (Udschat-)Auge wieder zusammengesetzt und Horus zurückgegeben. (Das Wort Udschat bedeutet im Ägyptischen "heilen"). In der RMP no. 79 wird ausgeführt, daß (nach dem vorher Gesagten) die Gleichung gilt:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 1

Das beschreibt die heute bekannte Form einer konvergierenden geometrischen Reihe der Form
Sn = a (1-rn)/(1-r)

, wobei a das erste Glied der Reihe ( =1/2), r das Steigungsverhältnis der Reihe ( = z.B. (1/4)/(1/2) = ebenfalls 1/2) und n die Anzahl der Glieder der Reihe darstellt. Für die ersten 6 Glieder der Reihe ergibt sich
S6 = 1/2 (1-(1/2)6)/(1-(1/2)) = 1 - 1/64

Für den Fall, daß n = unendlich wird, ist der Wert der Reihe damit = 1




Eine Maßlatte über die mathematischen und technischen Fähigkeiten der Ägypter ergibt auch die Betrachtung der Ausrichtung der großen Pyramiden von Gizeh. Diese Pyramiden sind nach Ost/West bzw Nord/Süd ausgerichtet, die Überprüfung der Ausrichtung mit den Mitteln modernster Satelliten-Navigationstechnik ergab, daß eine maximale Mißweisung von ca. drei Bogenminuten vorliegt, dies sind weniger 0,06 % !! Weitere Angaben zum gleichen Objekt: die Länge der vier Pyramiden-Basisseiten - die ja ein Quadrat bilden - sollen 440 Ellen = 230,34 m betragen; gefunden werden 230,25 m (N), 230,44 m (S), 230,38 m (O), 230,35 m (W). Die rechten Winkel an den 4 Ecken zeigen Abweichungen von 1" (NW), 58" (NO), 29" (SO) und 16" (SW).

Literatur:
Gay Robins & Charles Shute, The Rhind mathematical papyrus, British Museum Press (London)
Rainer Stadelmann, Die ägyptischen Pyramiden, Zabern, Mainz

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